SPLTV

Definisi dan Bentuk Umum SPLTV

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

ax + by + cz = d	atau	a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h		a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l		a3x + b3y + c3z = d3

Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.

Keterangan:

a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x

b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y

c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z

d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta

x, y, z = variabel atau peubah

Ciri–Ciri SPLTV

Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear tiga variabel apabila memiliki karakteristik sebagai berikut.

■ Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)

■ Memiliki tiga variabel

■ Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)

Hal–Hal yang Berhubungan dengan SPLTV

Terdapat tiga komponen atau unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel, yakni: suku, variabel, koefisien dan konstanta. Berikut ini adalah penjelasan masing-masing komponen SPLTV tersebut.

#1  Suku

Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.

Contoh :

6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y, 4z dan 7.

#2 Variabel

Variabel adalah peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x, y dan z.

Contoh :

Yulisa memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z.

#3 Koefisien

Koefisien adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.

Contoh :

Yulisa memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika ditulis dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 2, 5 dan 6 adalah koefisien di mana 2 adalah koefisien x , 5 adalah koefisien y dan 6 adalah koefisien z.

#4  Konstanta

Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel atau peubahnya.

Contoh :

2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta adalah  7, karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.

Syarat SPLDV Memiliki Satu Penyelesaian

Baca Juga:

• Kumpulan Contoh Soal dan Jawaban SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel)
• 5 Macam Metode Menentukan Penyelesaian SPLTV + Contoh Soal dan Pembahasan Bagian 3
• Kumpulan Contoh Soal SPLDV, SPLTV, SPLK, SPKK dan Jawabannya

Suatu sistem persamaan linier 3 variabel akan tepat memiliki sebuah penyelesaian atau satu himpunan penyelesaian jika memenuhi syarat atau ketentuan berikut ini.

■ Ada lebih dari satu atau ada tiga persamaan linier tiga variabel sejenis.

Contoh :

x + y + z = 5

x + 2y + 3z = 6

2x + 4y + 5z = 9

■ Persamaan Linier Tiga Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel, bukan Persamaan Linier Tiga Variabel yang sama.

Contoh :

2x − 3y + z = −5

2x + z − 3y + 5 = 0

4x – 6y + 2z = −10

Ketiga persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear tiga variabel yang sama sehingga tidak memiliki tepat satu himpunan penyelesaian.

Cara Penyelesaian SPLDV

Bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel dapat kita tuliskan sebagai berikut.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Jika nilai x = x0, y = y0, dan z = z0, ditulis dengan pasangan terurut (x0, y0, z0), memenuhi SPLTV di atas, maka haruslah berlaku hubungan sebagai berikut.

a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1

a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2

a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3

Dalam hal demikian, (x0, y0, z0) disebut penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dan himpunan penyelesaiannya ditulis sebagai {(x0, y0, z0)}.

Sebagai contoh, terdapat SPLTV berikut ini.

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

SPLTV di atas mempunyai penyelesaian (3, 2, 4) dengan himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 4)}. Untuk membuktikan kebenaran bahwa (3, 2, 4) merupakan penyelesaian dari SPLTV tersebut, maka subtitusikanlah nilai x = 3, y = 2 dan z = 4 ke dalam persamaan 2x + y + z = 12, x + 2y– z = 3 dan 3x – y + z = 11, sehingga kita peroleh:

⇔ 2(3) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12, benar

⇔ 3 + 2(2) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3, benar

⇔ 3(3) – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 11, benar

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:

■ Metode subtitusi

■ Metode eliminasi

■ Metode gabungan atau campuran

■ Metode determinan

■ Metode invers matriks

Read More

SPLDV

1.        Pengertian Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier (SPL) adalah gabungan dua atau lebih persamaan linier yang saling berkaitan satu dengan lainnya.

Didalam SPL itu ada yang namanya selesaian, selesaian adalah nilai pengganti peubah yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Dan proses dari selesaian itu biasanya disebut penyelesaian (selalu berkurung kurawal).

2.        Pengertian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat tiap-tiap variabel sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah :

ax + by = c

Dimana :  x dan y adalah variabel

Sedangkan sistem persamaan dua variabel adalah dua persamaan linier dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum sistem persamaan dua variabel adalah :

ax + by = c

px + qy = r

Dimana : x dan y dise but variabel

 a, b, p dan q disebut koefisien

 c dan r disebut konstanta

3.        Metode-Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Metode-metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel sebagai berikut :

a.      Metode Eliminasi

Dalam metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasikan atau dihilangkan untuk mendapatkan nilai variabel yang lain dalam Sistem Persamaan Linier Dua Variabel tersebut. Untuk mengeliminasi suatu variabel, samakan nilai kedua koefisien variabel yang akan dieliminasi, kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkan.

b.      Metode Substitusi

Dalam metode substitusi, suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain  dari SPLDV tersebut. Selanjutnya, variabel ini digunakan untuk mengganti variabel lain yang sama dalam persamaan lainnya sehingga diperoleh persamaan satu variabel.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dari 3x + 4y = 11 dan x + 7y  = 15

Penyelesaian :

3x + 4y = 11 . . .  persamaan (1)

x + 7y = 15 . . .  persamaan (2)

Dari persamaan (2) didapat : x = 15 – 7y . . . persamaan (3)

Kemudian substitusikan pesamaan (3) ke persamaan (1) :

 3x + 4y = 11

⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 ⇔   45 – 21y + 4y = 11⇔        - 21y + 4y = 11 – 45
                                                                                                     ⇔                - 17y = - 34   ⇔                      y = 2

Nilai  y = 2 kemudian substitusikan  y  ke persamaan (3)

 x = 15 – 7y
 x = 15 – 7(2)

 x = 15 – 14

 x = 1

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya {(1, 2)}

c.      Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Dalam metode ini, nilai salah satu variabel terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi. Selanjutnya, nilai variabel ini disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel sama.

Contoh :

Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !

Penyelesaian :
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh :
2x – 5y = 2     ×1       2x – 5y = 2
x + 5y = 6       ×2       2x +10y = 12   -
                                        -15y = -10
                                           y = (-10)/(-15)
                                           y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
x + 5y = 6⇔  x + 5 (2/3) = 6⇔  x + 10/15 = 6⇔               x = 6 – 10/15

⇔               x = 22/3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(22/3,2/3)}

d.      Metode Grafik

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik adalah titik potong kedua garis dari persamaan linier penyusunan. 

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x, y ∈ R dengan menggunakan metode grafik.

Penyelesaian:

Tentukan terlebih dahulu titik potong dari gais-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat seperti berikut ini:

Untuk gaaris  x + y = 5

X	0	5
Y	5	0
(x, y)	(0, 5)	(5, 0)

•   Titik potong sumbu x, syarat y = 0

           x + y = 5

           x + 0 = 5

           x = 5

          Jadi titik potongnya (5,0)

•   Titik potong sumbu y, syarat x = 0

             x + y = 5

             0 + y = 5

             y = 5

            Jadi titik potongnya (0,5)

 Untuk garis  x - y = 1

X	0	1
Y	-1	0
(x, y)	(0, -1)	(1, 0)

·         Titik potong sumbu x, syarat y = 0

x – y = 1

x – 0 = 1

x = 1

Jadi titik potongnya (1,0)

·         Titik potong sumbu y, syarat x = 0

x – y = 1

0 – y = 1

 y = -1

Jadi titik potongnya (0,-1)

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Soal Latihan !

1.        Diketahui SPLDV berikut  y + 2x = 8 dan 2y – 7x = -6

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan :

a.       Metode eliminasi

b.      Metode sebstitusi

c.       Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

d.      Metode grafik

Jawaban :

a.      Metode eliminasi

y + 2x = 8

2y – 7x = -6

*eliminasi y dari SPLDV

y + 2x = 8         x2       2y + 4x = 16

2y – 7x = -6      x1        2y – 7x = -6           -

                                           11x = 22

                                               x = 2

*eliminasi x dari SPLDV

y + 2x = 8      x7        7y + 14x = 56

2y – 7x = -     x2         4y – 14x = -12      +

                                           11y = 44

                                                y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

b.      Metode substitusi

y + 2x = 8 . . . . . . . persamaan (1)

2y – 7x = -6 . . . . . . persamaan (2)

Ubah persamaan (1) menjadi y + 2x = 8 ↔ y = 8 – 2x . . . persamaan (3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2)

2y – 7x = -6 ⇔ 2(8 – 2x) – 7x = -6

⇔  16 – 4x – 7x = -6

⇔  16 – 11x = -6

⇔  -11x = -6 – 16

⇔  -11x = -22

⇔       x = 2

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1)

y + 2x = 8

y + 2(2) = 8

⇔  y + 4 = 8

⇔       y = 8 – 4

⇔       y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

c.      Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

y + 2x = 8

2y -7x = -6

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh :

y + 2x = 8     x2      2y + 4x = 16

2y – 7x = -6              x1      2y – 7x = -6     -

-11x = -22

x = 2

Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan y + 2x = 8 sehingga diperoleh :

y + 2x = 8

y + 2(2) = 8

⇔  y + 4 = 8

⇔         y = 8 – 4

⇔         y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

d.      Metode grafik

y + 2x = 8

1.    Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0.
0 + 2x = 8
        x = 4 Titik potong (4, 0)

2.    Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.

y + 2(0) = 8
                 y = 8Titik potong (0, 8)

Untuk garis y + 2x = 8

x	0	1	2	3	4
y	8	6	4	2	0

2y – 7x = -6

1.    Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0.
2(0) – 7x = -6
             x = 6/7Titik potong (6/7, 0)

2.    Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.

       2y – 7(0) = -6
             y = -3Titik potong (0, 6/7)

            Untuk garis 2x -7y = -6

x	0	1	2	3	4
y	-3	1/2	4	15/2	11

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (2, 4). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y + 2x =8 dan 2y – 7x = -6 adalah {(2, 4)}.

Banyak permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan secara matematis. Salah satunya dengan cara membuat model SPLDV  permasalahan tersebut, kemudian mencari solusi SPLDV yang terbentuk. Ada beberapa metode untuk mencari solusi SPLDV. Pilihlah metode yang paling efektif untuk mencari solusi SPLDV agar Anda hemat waktu. Begitu juga dalam menyelesaikan setiap permasalahan tentu banyak cara mencari solusinya. Akan tetapi, pilihlah cara yang paling efektif agar solusi permasalahan tersebut segera diperoleh.

Setiap metode mempunyai tingkat kesulitan masing-masing, pahami dan pelajari semua metode kemudian gunakan metode yang benar-benar Anda paham atau kuasai agar mudah dalam mengerjakan soal dan menghemat waktu dalam pengerjaannya.

Read More